量化面试绿皮书：算法60题深度解析与全推导

标题重述：《量化面试绿皮书：算法60题深度剖析与全面推导》

精选算法60题推导全解 🔥

文中内容仅供技术学习与代码实践参考，市场具不确定性，技术分析需审慎验证，不构成任何投资建议。

每题全解均包含详尽推导、解题步骤、Python实现及逻辑阐释等，深入剖析核心知识点与评估维度，提供典型回答框架，助力精准把握面试要点，全方位提升专业洞察力。

1. 海盗分金博弈

五个海盗获取了一个装有100枚金币的箱子。
作为一群秉持民主原则的海盗，他们商定了如下分配战利品的办法：由最资深的海盗提出分配方案。
包括最资深海盗在内的所有海盗都会参与投票。
若至少50%的海盗（本例中为3名）认可该方案，则按此方案分配金币。
若未获通过，最资深的海盗将被投入鲨鱼之口，随后由次资深的海盗重复此流程。
直至有一个方案获得通过。
可假定所有海盗均极度理性：首先求生存，其次追求尽可能多的金币。
再者，若面临其他条件等同的结果，嗜血的海盗更倾向于船上海盗数量减少。

问: 最终金币将如何分配？

答: ( 98 + 0 + 1 + 0 + 1 = 100 ) (98 + 0 + 1 + 0 + 1 = 100)
(98+0+1+0+1=100) 📖 详细解析
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2. 老虎吃羊问题

一个魔法岛上有一百只老虎和一只羊，岛上仅有草。
老虎虽食草，但更愿捕食羊。假设：
A. 每次仅一只老虎可捕食一只羊，且该老虎捕食羊后自身会变为羊。
B. 所有老虎均极为聪明且理性，皆求生存。

问: 羊会被吃掉吗？

答: 不会 📖 详细解析 🔗

3. 四人过河最短时间

A、B、C、D四人需过河。
过河唯一途径是一座旧桥，一次最多容2人。因天黑，无手电筒无法过桥，且仅一把手电筒。故每对过河时间以较慢者为准。需尽快让所有人抵达对岸。
A过河最慢，需10分钟；
B需5分钟；
C需2分钟；
D需1分钟。

问: 让所有人渡过对岸的最短时间是多少？

答: 17 17 17 📖 详细解析
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4. 老板生日推理

你与同事C知晓老板A的生日为以下10个日期之一:
3月4日、3月5日、3月8日
6月4日，6月7日
9月1日，9月5日
12月1日、12月2日、12月8日
老板A仅告知你生日月份，仅告知同事C生日具体日。
随后你称:“我不知道老板A生日，同事C也不知。”
同事C听后道:“此前不知，如今知矣。”
你笑言:“如今我亦知矣。”
行政助理查看10个日期并闻你所言后，未询问便写下老板A生日。

问: 助理所写为何？

答: 9 月 1 日 9月1日 9月1日 📖 详细解析
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5. 扑克牌游戏

赌场开展使用52张普通扑克牌的纸牌游戏。
规则为每次翻两张牌。
若同为黑色，入庄家堆；
若同为红色，入你堆；
若一黑一红，弃置。
重复此过程至处理完所有52张牌。
若你堆牌数更多，赢100美元；否则无收益。
赌场允你协商游戏付费金额。

问: 你愿花多少钱玩此游戏？

答: 0 0 0 📖 详细解析 🔗

6. 烧绳子计时

有两根绳子，每根燃烧需1小时。但因绳子密度不均，无法保证不同部分燃烧时间一致。

问: 如何用两根绳子测45分钟？

答: 点燃第一根绳一端，同时点燃第二根绳两端。待第二根绳烧尽，即刻点燃第一根绳另一端。📖 详细解析
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7.

100的阶乘中有多少个尾随零

问: 100!（100的阶乘）末尾有多少个零？

答: 24 24 24 📖 详细解析
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8. 赛马比赛

有25匹马，每匹速度恒定且不同。
因赛道仅5条车道，每场最多5匹马参赛。

问: 要找出最快3匹马，最少需多少场比赛？

答: 7 7 7 📖 详细解析 🔗

9. 通往Offer的门

面对两扇门，一扇通工作机会，一扇是出口。
两扇门前各有一警卫，一真一假。
仅可向一名警卫问一个是非题。

问: 若想获工作机会，应问何问题？

答: 如果我问另一个守卫‘这扇门是通往工作机会的吗？’，他会回答‘是’吗？📖 详细解析
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10. 消息传递

需通过信使服务与格林威治同事交流，文件放带锁盒中寄送。
信使服务不安全，未上锁盒中物品会丢失。
你与同事用高安全性挂锁，每锁仅开锁者有钥匙。

问: 如何安全寄文件给同事？

答: 文件+加锁，协议需三次递送（你→同事、同事→你、你→同事） 📖 详细解析
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11. 最后一个球

袋中20蓝球、14红球。
每次随机取两球（概率均等），不放回。
若同色，加一蓝球；
若异色，加一红球。

问: 重复操作，最后剩何色球？若20蓝球、13红球呢？

答: 蓝球，红球 📖 详细解析 🔗

12. 量化工资

八位量化分析师聚饮，欲知团队平均工资，却不愿透露自身薪资。

问: 如何让众人在不知他人薪资下算平均工资？

答: 加随机数 📖 详细解析 🔗

13. 贴错标签的袋子

三袋水果，分别装苹果、橙子、混合果，标签全错。

问: 如何通过最少取果数识别袋子？

答: 从贴“混合水果”标签袋入手 📖 详细解析
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14. 钟表零件

时钟摔成三块，每块数字和相等（1-12顺时针）。

问: 每块数字为何？（无异形件）

答: ( 1 , 2 , 11 , 12 ) ( 3 , 4 , 9 , 10 ) ( 5 , 6 , 7 , 8 ) (1,2,11,12)
(3,4,9,10) (5,6,7,8) (1,2,11,12)(3,4,9,10)(5,6,7,8) 📖 详细解析
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15. 假币一

10袋硬币，9袋每枚10克，1袋硬币每枚9或11克。

问: 能否一次称重找出假币袋？

答: 将10袋编号1⋯10 📖 详细解析
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16. 玻璃珠

手中两玻璃珠，100层楼，知X值，求最小最坏情况扔球次数。

答: 15 15 15 📖 详细解析
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17. 袜子匹配

抽屉有2红、20黄、31蓝袜子，求保证抓一双同色需抓多少只。

答: 4 4 4 📖 详细解析 🔗

18. 监狱问题

百名囚犯戴红蓝帽，仅能看他人帽，不能交流，点到即猜。

问: 最佳策略？能救多少人？

答: 99 99 99 📖 详细解析
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19. 相关系数

三随机变量x、y、z，x与y、x与z相关系数均0.8。

问: y与z最大、最小相关系数？

答: 1.00 1.00 1.00, 0.28 0.28 0.28 📖 详细解析
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20. 正态生成

问: 如何生相关系数p的两标准正态变量？

答: Cov ( X , Y ) = Cov ( Z 1 , p ⋅ Z 1 + 1 − p 2 ⋅ Z 2 ) \text{Cov}(X, Y)
= \text{Cov}(Z_1, p \cdot Z_1 + \sqrt{1 - p^2} \cdot Z_2)
Cov(X,Y)=Cov(Z1​,p⋅Z1​+1−p2 ​⋅Z2​) 📖 详细解析
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21. 抛硬币游戏

赌徒A有n+1枚公平币，B有n枚。

问: A正面比B多的概率？

答: 1 2 \dfrac{1}{2} 21​ 📖 详细解析
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22. 卡片游戏

52张牌，抽两张比大小，求你赢概率。

答: 8 17 \dfrac{8}{17} 178​ 📖 详细解析
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23. 醉酒乘客

100乘客登机，首客随机选座，他人按票就座，若自座被占则随机选座。

问: 第100位乘客坐自己座概率？

答: 1 2 \dfrac{1}{2} 21​ 📖 详细解析
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24. 一圆N点

问: 圆上随机N点全在半圆内概率？

答: N 2 N − 1 \dfrac{N}{2^{N-1}} 2N−1N​ 📖 详细解析
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25. 德州扑克

问: 四条、葫芦、两对概率？

答: 1 4 , 165 ≈ 0.000240 \frac{1}{4,165} \approx 0.000240 4,1651​≈0.000240，
6 4 , 165 ≈ 0.001441 \frac{6}{4,165} \approx 0.001441 4,1656​≈0.001441， 198 4
, 165 ≈ 0.047539 \frac{198}{4,165} \approx 0.047539 4,165198​≈0.047539 📖 详细解析
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26. 忙碌的兔子

兔子在n阶楼梯底，每次跳1或2阶，到顶方式数。

答: f ( n ) = f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) f(n) = f(n-1) + f(n-2)
f(n)=f(n−1)+f(n−2) 📖 详细解析
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27. 象棋锦标赛

2ⁿ名选手淘汰赛，技能1>2>⋯>2ⁿ，选手1与2决赛相遇概率。

答: 2 n − 1 2 n − 1 \dfrac{2^{n-